Análisis para el estudio de mazos competitivos de pokémon TCG

Edit: Esto se hizo en el foro Cartas pokémon, no obstante aquí lo completo con un último punto.

Buenas. llevo un poco de retraso con el countdown, así que aprovecho para poder comentar un estudio que hice en la universidad respecto a los JCC (juego de cartas intercambiables), incluyendo a Pokémon TCG. Muchos se pensaban que no habían ninguna relación, cosa que al final estos se equivocaron, ya que se podía determinar el % de posibilidades de victoria y derrota, e incluso poner un intervalo que incluya los grandes golpes de suerte, errores, etc.
Bueno, no me enrollo más, aquí lo tenéis:

Cálculo de testeo de Mazos competitivos en los juegos de cartas intercmabiables

En este juego, si consideramos que el testeo lo hacemos al mejor de 3 partidas y sin límite de tiempo, hay 4 sucesos o eventos en el espacio muestral
(espacio que contiene todos los sucesos) que nos interesan:

A1= ganamos al rival 2-0 (fácil fácil xD)
A2= ganamos al rival 2-1
A3= perdemos 0-2
A4= perdemos 1-2

Una de las cosas que nos interesan a la hora de testear, entre otras, es saber las probabilidades de victoria que tenemos frente al rival, ya sea en la primera primera partida (partidas pre-side), como en la segunda y tercera (partidas post-side). Para ellos, consideraremos como resultado del testeo (sucesos que nos interesan saber):

B1= ganamos la 1ª partida
B2= ganamos la 2ª y/o 3ª partida

Para calcular las probabilidades de B1, que llamaremos p(B1), y las de p(B2), primero haremos estos cálculos:

p(A1) = número de partidas donde aparece este sucesos / número de partidas que hemos hecho en total

p(A2), p(A3), p(A4) se calculan del mismo modo, cambiando el número de partidas donde aparece A1 por las que aparece A2, A3 y A4.

p(B1/A1) = p(B2/A1) = 1 (Razón: si ganamos 2-0 ganaremos siempre la partidas pre-side y la primera post-side)

p(B1/A3) = p(B2/A3) = 0 (Razón: si perdemos 0-2 perderemos siempre la partidas pre-side y la primera post-side)

p(B1/A2) = número de partidas que las ganamos 2-1 y ganamos la primera partida / número de partidas donde aparece el evento 2-1

p(B1/A4) = número de partidas que las perdemos 1-2 y ganamos la primera y tercera partida / número de partidas donde aparece el evento 1-2

p(B2/A4) = número de partidas que las perdemos 1-2 y ganamos la segunda partida / número de partidas donde aparece el evento 1-2

p(B2/A2) = número de partidas que las ganamos 2-1 y ganamos la segunda y tercera partida / número de partidas donde aparece el evento 2-1

(NOTA: depende mucho de como salga los resultados, si la primera la gana el rival pues aplicamos en partidas 2 y 3; si ganamos la primera partida, solo tendremos en cuenta la partida 3; y si aparecen ambos aplicamos un evento A5, donde ganamos 2-1 ganando la primera partida, y el evento A2 lo asignamos como ganar 2-1 perdiendo la primera. Aplicamos los mismos calculos en p(B2/A2),p(B2/A4),etc.)

p(B2/A4) = número de partidas que las perdemos 1-2 y ganamos la segunda partida / número de partidas donde aparece el evento 2-1

Como conocemos todo lo anterior, y los eventos con A son excluyentes entre sí, podemos aplicar el teorema de la probabilidad total:

p(B1) = (p(B1/A1)*p(A1)) + (p(B1/A2)*p(A2)) + (p(B1/A3)*p(A3)) + (p(B1/A4)*p(A4)) = p(A1) + (p(B1/A2)*p(A2)) + 0 + (p(B1/A4)*p(A4))


Este es el cálculo para las partidas preside, el cálculo para las partidas post side es este:

p(B2) = (p(B2/A1)*p(A1)) + (p(B2/A2)*p(A2)) + (p(B2/A3)*p(A3)) + (p(B2/A4)*p(A4)) = p(A1) + (p(B2/A2)*p(A2)) + 0 + (p(B2/A4)*p(A4))


Con esto podemos calcular las probabilidades de B1 y B2, también las probabilidades de derrota haciendo:

p(derrota en la 1ª partida) = 1 - p(B1)

p(derrota en la 2ª y 3ª partida) = 1 - p(B2)

Con esto, podemos concluir que la relación entre los JCI y las matemáticas está más que comprobada, viendo que es posible calcular las probabilidades de victoria y derrota en cada pairing donde aparezcan 2 mazos enfrentandose.

Determinación del intervalo de confianza de las probabilidades de victoria y derrota de un determinado pairing

El objetivo de este estudio es ni más ni menos determinar entre qué números se encuentra la verdadera proabilidad de victoria y derrota, en un determinado pairing. primero de todo, repasemos lo que hemos obtenido del estudio anterior: tenemos P(B1) y Q(B1) como las probabilidades de victoria y derrota en la 1ª partida respectivamente, que las definiremos de este modo:

P(B1) = p ' ; Q(B1) = 1 - P(B1) = q '

Así pues tenemos P(B2) y Q(B2) como las probabilidades de victoria y derrota después del banquileo, suponiendo que se hace de modo constante. Las definiemos de este modo:

P(B2) = p " ; Q(B2) = 1 - P(B2) = q "

Ahora empezaremos con nueva teoría: Dícese de la distribución Binomial que explica lo siguiente: Un experimento Binomial o de Bernoulli es aquel en donde sólo hay 2 posibles resultados. Pues bien, aquí hay sólo 2 resultados: victoria y derrota. Entonces de puede determinar la desviación estándar (dispersión de los datos obtenidos) y su esperanza (valor esperado del muestreo). estas definiciones sólo hay que saberlas numéricamente, no hace falta conocerlas teóricamente:

E(X) = n * p ; Des(X) = Raíz quadrada ( n * p * q )

Entonces:

E(X) ' = n * p' ; Des (X)' = Raíz quadrada ( n * p' * q' )

E(X) " = n * p" ; Des (X)" = Raíz quadrada ( n * p" * q" )

Esta distribución se puede a una Distribución que casi todos sabes cual es, la Normal o La Campana de Gauss. Al hacer la aproximación, podemos obtener este resultado:

Z= p - ^p / (Raíz quadrada (p * q / n))

Por lo tanto, el intervalo de confianza de la probabilidad de victoria y derrota que darían así:

(p' + - Z*(Raíz quadrada (n * p' / q')) para la probabilidad de victoria en la partda antes del banquilleo.

(q' + - Z*(Raíz quadrada (n * p' / q')) para la probabilidad de derrota en la partda antes del banquilleo.

(p" + - Z*(Raíz quadrada (n * p" / q")) para la probabilidad de victoria en la partda despues del banquilleo.

(q" + - Z*(Raíz quadrada (n * p" / q")) para la probabilidad de derrota en la partda despues del banquilleo.

Hasta aquí la teoría, sólo aclara que para este caso Z puede ser 3 números, dependiendo del grado de confianza que queremos:

si queremos un 90% de confianza, [Z = 1.64]
Si queremos un 95% (el más recomendado) de confianza, [Z = 1.96]
Si queremos un 99% de confianza, [Z=2.33]

Ahora, para que el experimento sea viable, se han de hacer 30 partidas al mejor de 3. Parece descabellado, pero esta muestra es fiable al 100%. se pueden hacer más de 30, que es igual de viable. Para ello, recomiendo al jugador que en cada testeo, apunte el resultado (2-0, 1-2...) y que guarde ese número en una tabla que se aplicará, así también te acuerdas de cómo transcurrió la partida.

Codigo de símbolos:
* : multiplicación
+: suma (evidente ¿no? xD)
/: división, excepto si se encuentra en p(x/y), que entonces significa probabilidad condicionada.
Bueno, eso es todo. Paz, Amor y FUEGO para todos